Si la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, no es la que permite el descenso más rápido de un elemento entre dos puntos.
La curva braquistócrona, es esa curva entre dos puntos que es recorrida en menos tiempo, y de ahí su nombre de origen griego: brachistos, el más corto; y cronos, tiempo.
La braquistócrona es la curva de descenso más rápido entre dos puntos, por un cuerpo que empieza en el punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta el segundo punto, bajo la acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Es una curva tan partícular que ha sido estudiada por todos los matemáticos importantes y ha supuesto siempre una fuente de conflictos entre ellos. El primero en encontrar la solución al problema fue Isaac Newton, que resolvió el problema en menos de un día y cuyo estudio, antes de ser reconocido, fue publicado de manera anónima en el número de febrero de 1967 de Philosophical Transactions.
La cuestión de la curva braquistócrona (que parte de una curva cicloide) fue uno de los primeros problemas variacionales y uno de los motivos principales que llevaron al desarrollo de lo que hoy es conocido como cálculo de variaciones en mecánica racional o teórica.